FUNCIONES trigonométricas

Funciones trigonométricas 

En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.
Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

Existen seis funciones trigonométricas básicas, de las cuales solo llegamos a trabajar las tres primeras. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométrica-mente o por medio de sus relaciones.

Función	Abreviatura	Equivalencias (en radianes)
Seno	sen, sin	${\displaystyle \operatorname {sen} \;\theta \equiv {\frac {1}{\csc \theta }}\equiv \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {\cos \theta }{\cot \theta }}\,}$
Coseno	cos	${\displaystyle \cos \theta \equiv {\frac {1}{\sec \theta }}\equiv \operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {\operatorname {sen} \theta }{\tan \theta }}\,}$
Tangente	tan, tg	${\displaystyle \tan \theta \equiv {\frac {1}{\cot \theta }}\equiv \cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {\operatorname {sen} \theta }{\cos \theta }}\,}$
Cotangente	ctg (cot)	${\displaystyle \cot \theta \equiv {\frac {1}{\tan \theta }}\equiv \tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {\cos \theta }{\operatorname {sen} \theta }}\,}$
Secante	sec	${\displaystyle \sec \theta \equiv {\frac {1}{\cos \theta }}\equiv \csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {\tan \theta }{\operatorname {sen} \theta }}\,}$
Cosecante	csc (cosec)	${\displaystyle \csc \theta \equiv {\frac {1}{\operatorname {sen} \theta }}\equiv \sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {\cot \theta }{\cos \theta }}\,}$

• 1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

${\displaystyle \operatorname {sen} \alpha ={\frac {\color {ForestGreen}{\textrm {opuesto}}}{\color {Red}{\textrm {hipotenusa}}}}={\frac {a}{h}}}$

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo ${\displaystyle \alpha }$ , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

• 2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {\color {Blue}{\textrm {adyacente}}}{\color {Red}{\textrm {hipotenusa}}}}={\frac {b}{h}}}$

• 3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\color {ForestGreen}{\textrm {opuesto}}}{\color {Blue}{\textrm {adyacente}}}}={\frac {a}{b}}}$

EXPRESADO SIMBÓLICAMENTE EN GRADOS Y RADIANES

el complemento de α:       90°-α          -          π /2- α

el suplemento de α:         180°-α          -           π - α

Pueden realizarse problemas matemáticos como por ejemplo:

• La hipotenusa de un triangulo rectángulo mide 26 cm y un angulo 66°. Calcula los catetos. 

SOLUCIÓN:

• En un triangulo isoseles los ángulos miden 78° y la altura 28 cm. Halla el lado desigual.

SOLUCIÓN: 

• La sombra de un árbol cuando las rallos de sol forman con la horizontal un angulo 36°, mide 11m. Cual es la altura del árbol?

SOLUCIÓN:

• Para medir la altura de un edificio de miden los ángulos de elevación desde dos puntos distantes 100 m. Cual es la altura de los ángulos son 33° y 46°?

SOLUCIÓN:

• De las siguientes funciones indicar para cada una de ella sus características mas importantes.

a) f(x) = sen x 

b) f(x) = cos x 

c) f(x) = tg x 

 a)  dominio: reales      imagen: (-1;1) 

   máximo: (π²  ; 1)      mínimo: (3π/2 ; -1) 

b) dominio: reales       imagen: (-1:1)

  máximo: (0;1)            mínimo: (π - 1)

c) dominio: no definido en los numero pares     imagen (-1:1) 

   máximo: no tiene     mínimo: no tiene 

• Representar geográficamente las siguientes funciones e indicar para cada una de ellas el conjunto imagen, el máximo y el mínimo.

a) f(x) = sen x 
b) g(x) = 2 sen x 
c) h(x) = 1/2 sen x 

a)    dominio: reales         imagen: (-1;1)
    Máximo: (π /2 ; 1)        mínimo: (3π /2 ; -1) 

b) dominio: reales           imagen: (-2:2)
    máximo: (π /2 ; 2)       mínimo: (3π /2 : -2) 

c) dominio: reales           imagen: (-1/2 ; 1/2)
   máximo: (π /2 ; 1/2)     mínimo: (3π /2 ; 1/2)